Proposiciones

• Un enunciado
• Siempre tiene un "valor de verdad"
  • "Verdadero" o "falso"

"$a^2$ es impar" NO es una proposición, porque depende de la variable ay no sabemos su valor. Para que sea proposición, se podría decir "Si $a = 5$, $a^2$ es impar". En ese caso SÍ es una proposición porque podemos saber su valor de verdad (V o F).

Función proposicional

• Es una expresión con variables que, al ser evaluadas, tienen un valor de verdad.

Proposiciones compuestas

• Aquellas donde algunas de sus partes también es una proposición

"Hoy está nublado Y el domingo juega River"

"Y" en este caso toma lugar de conector/conectivo lógico y se llama conjunción lógica

Si fuese "O", se llama disyunción lógica.

Implicación

Tiene dos partes: Antecedente y consecuente

Implicaciones directas

• $p \implies q$
• "Si llueve, el parque se moja"

Si ocurre el primero, el segundo se cumple

"Lógicamente", no tienen que estar conectadas:

• "Si llueve, el domingo juega River" es una implicación.
• Si la primera ($q$) es falsa, es decir, no "llueve", no sabemos si la segunda se cumple o no. En este caso se dice que es verdadero.

Por ende, podemos llegar a los siguientes valores de verdad:

Contra recíproco

Si se invierten y se niegan ambas proposiciones, se dice que es una implicación contra recíproca a la original. Son equivalentes a las implicaciones directas.

• $\neg q \implies \neg p$

Recíproco

Si se invierte el orden de las proposiciones, se dice que es recíproco. Son equivalentes con las implicaciones contrarias.

• $q \implies p$

Contraria

Si se niegan las dos proposiciones, se dice que es contraria. Son equivalentes con las implicaciones recíprocas.

• $\neg p \implies \neg q$

Doble implicación

$p \iff q$ Es lo mismo que decir $p \implies q$ y $q \implies p$ al mismo tiempo. "SI y solo SI […]"

Disyunción exclusiva

El símbolo es una V con un _ al mismo tiempo ($\veebar$)

• Es verdadero sólo cuando los valores de verdad son distintos.

Ejercicios

• Realizar tabla de verdad con todos los posibles valores de las proposiciones atómicas, y las compuestas. Ejemplo: Proposición compuesta: $(p \wedge q) \implies p$

Cuando el resultado es verdadero en todos los casos, se llama tautología. Si fuese todo falso, es una contradicción.

Ejemplo de resolución