Demostraciones

Axiomas

Las "verdades previas" de dividen en dos: Las propiedades ya demostradas, y los axiomas. Los axiomas son aquellas verdades sin demostración. Los "puntos de partida".

Ejemplos

En lógica, es axioma que $p$ no puede ser $V$ y $F$ simultáneamente.
La propiedad conmutativa es un axioma.

Estrategias de demostración

Directa

Dada una proposición $H\implies T$ se da por verdadera $H$ y mediante "pasos lógicos" válidos concluimos que $T$ es verdadera. 08-14 2025-08-14 09.41.44.excalidraw 08-14 2025-08-14 09.53.07.excalidraw

Contrarrecíproco

Si se demuestra el contrarrecíproco de una implicación, también se demuestra la implicación original porque tienen la misma tabla de verdad.

Ejemplo

Dada una proposición "Si $a$ no es múltiplo de $5$ , entonces $a \neq 35$ " se podría demostrar el contrarrecíproco para decir que eso es verdadero, convirtiendo esa proposición en "Si $a = 35$ , entonces $a$ es múltiplo de $5$ ." 08-14 2025-08-14 10.05.06.excalidraw

Ejemplo 2

Dada una proposición "Si $a^2$ es par", entonces $a$ es par" se podría demostrar el contrarrecíproco de la siguiente manera "Si $a$ es impar, entonces $a^2$ es impar". 08-14 2025-08-14 10.20.15.excalidraw

Absurdo

Si se demuestra que la negación de la implicación es falsa, entonces la implicación tiene que ser verdadera. Para $H\implies T$ , se puede demostrar que es verdadera en el caso que $H\wedge \neg T$ sea una contradicción (falsa).

Ejemplo

" $a = \sqrt{2} \implies a$ es irracional" se puede demostrar por absurdo siempre y cuando la proposición " $a = \sqrt{2}\wedge a$ es racional" sea una contradicción (falsa), que sí lo es.

Ejemplo 2

Inducción

08-19

Práctica