La suma de matrices es conmutativa y asociativa .
A + B = B + A A+B=B+A A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A+(B+C)=(A+B) +C A + ( B + C ) = ( A + B ) + C La multiplicación de matrices es asociativa , pero NO es conmutativa .
A ⋅ B + M ⋅ B = X ( A + M ) ⋅ B = X B ⋅ ( A + M ) ≠ X \begin{matrix}
A\cdot B+M\cdot B=X\\
(A+M)\cdot B=X\\
B\cdot (A+M)\neq X
\end{matrix} A ⋅ B + M ⋅ B = X ( A + M ) ⋅ B = X B ⋅ ( A + M ) = X Si una matriz (cuadrada) tiene inversa, se anota A − 1 A^{-1} A − 1
A ⋅ A − 1 = I A\cdot A^{-1} = I A ⋅ A − 1 = I donde I I I 0 0 0 1 1 1
Ejercicio 12c:
La matrices A A A B B B S S S
S 3 = { ∑ i = 1 3 M i i = 0 } A = ( 3 0 1 2 4 5 8 17 − 7 ) B = ( 1 0 8 5 2 7 5 − 2 3 ) \begin{matrix}
S_3=\{\sum^3_{i=1}M_{ii} = 0\}&
A=\begin{pmatrix}
3&0&1\\
2&4&5\\
8&17&-7
\end{pmatrix}&
B=\begin{pmatrix}
1&0&8\\
5&2&7\\
5&-2&3
\end{pmatrix}
\end{matrix} S 3 = { ∑ i = 1 3 M ii = 0 } A = 3 2 8 0 4 17 1 5 − 7 B = 1 5 5 0 2 − 2 8 7 3 La sumatoria se podría describir como "aquellas matrices para las cuales la sumatoria de su diagonal principal (M i i M_{ii} M ii
A ∈ S 3 , B ∉ S 3 A\in S_3, B\notin S_3 A ∈ S 3 , B ∈ / S 3
( 1 2 − 1 0 3 1 − 1 0 2 ) ⋅ ( x y z ) = ( 1 2 − 1 ) \begin{pmatrix}
1&2&-1\\
0&3&1\\
-1&0&2
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{pmatrix} 1 0 − 1 2 3 0 − 1 1 2 ⋅ x y z = 1 2 − 1 { x + 2 y − z = 1 3 y + z = 2 − x + 2 z = − 1 \begin{cases}
x+2y-z&=1\\
3y+z&=2\\
-x+2z&=-1
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y − z 3 y + z − x + 2 z = 1 = 2 = − 1 Estas dos expresiones representan la forma matricial y forma de ecuaciones lineales para el mismo conjunto de números.
Sea una matriz M M M M t M^t M t
M t = M j i M^t=M_{ji} M t = M j i Sea:
A ∈ R 2 x 2 ; A = ( a b c d ) A\in \mathbb{R}^{2x2};A=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix} A ∈ R 2 x 2 ; A = ( a c b d ) El determinante se representa como:
det ( A ) = ∣ A ∣ \text{det}(A)=|A| det ( A ) = ∣ A ∣ ∣ A ∣ = a ⋅ d − c ⋅ b |A|=a\cdot d-c\cdot b ∣ A ∣ = a ⋅ d − c ⋅ b Si el determinante ≠ 0 \neq 0 = 0 sí tiene inversa.
Ejemplo
A = ( 2 − 3 1 5 ) det ( A ) = ∣ A ∣ ∣ A ∣ = 2 ⋅ 5 − 1 ⋅ ( − 3 ) = 10 + 3 = 13 \begin{matrix}
A=
\begin{pmatrix}
2&-3\\
1&5
\end{pmatrix}\\
\text{det}(A)=|A|\\
|A|=2\cdot 5-1\cdot (-3)=10+3=13
\end{matrix} A = ( 2 1 − 3 5 ) det ( A ) = ∣ A ∣ ∣ A ∣ = 2 ⋅ 5 − 1 ⋅ ( − 3 ) = 10 + 3 = 13
3 x 3 3x3 3 x 3 Se elije una fila/columna, preferiblemente la que tenga mayor cantidad de 0 0 0 R 2 x 2 \mathbb{R}^{2x2} R 2 x 2 + + + − - −
( + − + − + − + − + ) \begin{pmatrix}
+&-&+\\
-&+&-\\
+&-&+
\end{pmatrix} + − + − + − + − + > Esta "matriz" de signos sigue la fórmula M i j = ( − 1 ) i + j M_{ij} = (-1)^{i+j} M ij = ( − 1 ) i + j
Ejemplo de resolución
∣ A ∣ = ∣ 1 3 − 1 0 2 2 1 5 0 ∣ ∣ A ∣ = + 1 ∣ 2 2 5 0 ∣ − 3 ∣ 0 2 1 0 ∣ + ( − 1 ) ∣ 0 2 1 5 ∣ ∣ A ∣ = + 1 ( 0 − 10 ) − 3 ( 0 − 2 ) + ( − 1 ) ( 0 − 2 ) ∣ A ∣ = − 10 + 6 + 2 ∣ A ∣ = − 2 \begin{matrix}
|A|=
\left|
\begin{matrix}
1&3&-1\\
0&2&2\\
1&5&0
\end{matrix}
\right|\\
|A|=+1\left|\begin{matrix}
2&2\\
5&0
\end{matrix}\right|
-3\left|\begin{matrix}
0&2\\1&0
\end{matrix}\right|
+(-1)\left|\begin{matrix}
0&2\\1&5
\end{matrix}\right|\\
|A|=+1(0-10)-3(0-2)+(-1)(0-2)\\
|A|=-10+6+2\\
|A|=-2
\end{matrix} ∣ A ∣ = 1 0 1 3 2 5 − 1 2 0 ∣ A ∣ = + 1 2 5 2 0 − 3 0 1 2 0 + ( − 1 ) 0 1 2 5 ∣ A ∣ = + 1 ( 0 − 10 ) − 3 ( 0 − 2 ) + ( − 1 ) ( 0 − 2 ) ∣ A ∣ = − 10 + 6 + 2 ∣ A ∣ = − 2
Los determinantes sólo están definidos para matrices cuadradas .
Si una matriz está triangulada en 0 0 0
∣ A ∣ = ∣ A t ∣ |A|=|A^t| ∣ A ∣ = ∣ A t ∣ transpuesta )Si una matriz tiene una columna/fila formada por 0 0 0 0 0 0
Si se hace un intercambio de filas/columnas, cambia el signo del determinante.
Si hay un número que multiplica a todas las filas de una matriz (factor común), se puede expresar de la siguiente manera:
∣ 3 ⋅ 1 3 ⋅ 3 3 ⋅ 6 4 ⋅ 1 4 ⋅ 1 4 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ − 1 ∣ = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 ∣ 1 3 6 1 1 1 2 2 − 1 ∣ \left|\begin{matrix}
3\cdot 1&3\cdot 3&3\cdot 6\\
4\cdot 1&4\cdot 1&4\cdot 1\\
3\cdot 2&3\cdot 2&3\cdot -1\\
\end{matrix}\right|
=3\cdot 4\cdot 3
\left|\begin{matrix}
1&3&6\\
1&1&1\\
2&2&-1\\
\end{matrix}\right| 3 ⋅ 1 4 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 6 4 ⋅ 1 3 ⋅ − 1 = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 1 1 2 3 1 2 6 1 − 1
Si se modifica una fila/columna para sumarle el múltiplo de otra(s), el determinante no cambia.
Si una fila/columna es múltiplo de otra o la suma de otras filas, el determinante es 0.
Los determinantes son distributivos por fila:
det ( 9 12 3 5 ) = det ( 9 12 0+3 1+4 ) = det ( 9 12 0 1 ) + det ( 9 12 3 4 ) \text{det}\begin{pmatrix}
9&12\\
3&5
\end{pmatrix}=
\text{det}\begin{pmatrix}
9&12\\
\textbf{0+3}&\textbf{1+4}
\end{pmatrix}=
\text{det}\begin{pmatrix}
9&12\\
0&1
\end{pmatrix}+
\text{det}\begin{pmatrix}
9&12\\
3&4
\end{pmatrix} det ( 9 3 12 5 ) = det ( 9 0+3 12 1+4 ) = det ( 9 0 12 1 ) + det ( 9 3 12 4 )
det ( A ⋅ B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) \text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B) det ( A ⋅ B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) det ( A + B ) ≠ det ( A ) + det ( B ) \text{det}(A+B)\neq \text{det}(A)+\text{det}(B) det ( A + B ) = det ( A ) + det ( B ) det ( α ⋅ A ) = α n ⋅ det ( A ) \text{det}(\alpha\cdot A)=\alpha^n\cdot \text{det}(A) det ( α ⋅ A ) = α n ⋅ det ( A ) n n n A A A det ( A − 1 ) = 1 det ( A ) \text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)} det ( A − 1 ) = det ( A ) 1 det ( A α ) = [ det ( A ) ] α \text{det}(A^\alpha)=[\text{det}(A)]^\alpha det ( A α ) = [ det ( A ) ] α Cada vez que se intercambia una fila con otra, el signo del determinante cambia.
