Planos

Recapitulando, la fórmula de una recta se define de la siguiente manera: $\text{Recta }L:(x,y,z)=\lambda\vec{v}+P_0$

Para un plano, se define un vector más en la ecuación:

$$\text{Plano }\pi:(x,y,z)=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}+P_0$$

Esto es la forma paramétrica. Para pasar a forma implícita, se utiliza el mismo método que con las rectas.

Dados 3 puntos (no alineados) se puede fabricar la ecuación para un plano. Por ejemplo, si tengo como dato 3 puntos $P$, $Q$, $R$ puedo fabricar los 2 vectores que necesito $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ y puedo utilizar cualquiera de estos puntos como $P_0$ (punto de paso).

Ecuación implícita del plano

$$ax+by+cz=d$$

De esta ecuación se puede extraer la normal del plano $\text{normal }\vec{n}=(a,b,c)$, donde la normal es un vector perpendicular al plano (y a ambos vectores directores) y $d$ es

Siendo que la normal $\vec{n}$ es perpendicular a los vectores directores, también se puede conseguir, según la teoría y propiedades de vectores, multiplicando ambos vectores directores de la siguiente manera: $\vec{n}=\begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ \vec{v}_x&\vec{v}_y&\vec{v}_z\\ \vec{w}_x&\vec{w}_y&\vec{w}_z \end{vmatrix}$

Ecuación implícita a partir de la normal y un punto

Si como dato tengo un punto $(x,y,z) = \vec{x}$ y un punto $P$ que ambos pertenecen al plano, puedo conseguir la ecuación implícita de la siguiente manera:

Genero un vector $\vec{xP}$ y lo multiplico por la normal $\vec{n}$ porque si ambos pertenecen al plano, la normal del plano y este vector deberían ser perpendiculares (el resultado del producto interno equivale a $0$):

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-P_0)=0$$

Recta resultante de cruzar dos planos

Cuando dos planos intersectan, el resultado es una recta $L$. Esta recta es perpendicular a las normales de los planos, por lo que se puede conseguir de la siguiente manera:

$$L:\begin{cases} ax+by+cz=d\\ ex+fb+gz=h \end{cases}$$ $$\vec{v}_L=\begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a&b&c\\ e&f&g \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_L=\hat{i}(bg-cf)-\hat{j}(ag-ce)+\hat{k}(af-be)$$

Luego, para completar la ecuación de la recta $L:\vec{x}=\lambda(x,y,z)+P_0$ nada más nos faltaría el punto de paso $P_0$, que para conseguirlo basta con encontrar un punto que pertenezca a ambos planos. Esto se puede hacer asignando un valor arbitrario a una de las variables (por ejemplo, $z=0$) y resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de los planos para las otras dos variables.

Paralelismo y Perpendicularidad

2 planos son perpendiculares si sus normales también son perpendiculares:

$$\pi_1\perp\pi_2\iff\vec{n}_1\perp\vec{n}_2$$

2 planos son paralelos si sus normales también son paralelas:

$$\pi_1\parallel\pi_2\iff\vec{n}_1\parallel\vec{n}_2$$

Una recta y un plano llevan la siguiente relación: $L\parallel\pi\iff\vec{v}\perp\vec{n}$ donde $\vec{v}$ es el vector director de la recta y $\vec{n}$ es la normal del plano.

Implícita a Paramétrica

Ejemplo: Dada una ecuación implícita $3x-2y+z=8$, se puede despejar una variable de la siguiente manera:

$$z=8-3x+2y$$

Haciendo esto, se puede reescribir la ecuación de la siguiente manera:

$$\vec{x}=(x,y,8-3x+2y)$$

Y en base a esto, reescribimos así:

$$\vec{x}=x(1,0,-3)+y(0,1,2)+z(0,0,0)+(0,0,8)$$

Se elimina a $z$ y se cambian las variables:

$$\vec{x}=\alpha(1,0,-3)+\beta(0,1,2)+(0,0,8)$$