Intersecciones

#repaso

Relación entre rectas y planos con sistemas de ecuaciones.

Casos de intersecciones

$L_1\cap L_2$

• Se cruzan en un punto $\rightarrow$ SCD
  • $\vec{v}_1\neq\alpha\vec{v}_2$ (los vectores directores no son múltiplo)
  • Comparten un solo punto
• Misma recta $\rightarrow$ SCI
  • $\vec{v}_1=\alpha\vec{v}_2$
  • Comparten puntos
• Rectas paralelas $\rightarrow$ SI
  • $\vec{v}_1=\alpha\vec{v}_2$
  • No comparten ningún punto
• Rectas alabeadas $\rightarrow$ SI
  • $\vec{v}_1\neq\alpha\vec{v}_2$
  • No comparten ningún punto

$\pi_1\cap\pi_2$

• No existe SCD
• Recta $\rightarrow$ SCI
  • $\vec{n}_1\neq\alpha\vec{n}_2$ (las normales no son múltiplo)
  • Comparten por lo menos un punto
  • Una variable independiente/libre
• Mismo plano $\rightarrow$ SCI
  • $\vec{n}_1=\alpha\vec{n}_2$
  • Comparten un punto
  • Dos variables independientes/libres
• Planos paralelos $\rightarrow$ SI
  • $\vec{n}_1=\alpha\vec{n}_2$
  • No comparten ningún punto

$\pi_1\cap L_1$

• Se cortan en un punto $\rightarrow$ SCD
  • $\vec{v}_L\neg\perp\vec{n}_\pi$ ó $\vec{v}_L\cdot\vec{n}_\pi\neq0$ (el vector de la recta y la normal del plano no son perpendiculares)
  • Comparten un punto
• Recta contenida en el plano $\rightarrow$ SCI
  • $\vec{v}_L\perp\vec{n}_\pi$ ó $\vec{v}_L\cdot\vec{n}_\pi=0$
  • Comparten un punto
• Recta paralela al plano $\rightarrow$ SI
  • $\vec{v}_L\perp\vec{n}_\pi$ ó $\vec{v}_L\cdot\vec{n}_\pi=0$
  • No comparten ningún punto

$(\pi_1\cap\pi_2)\cap\pi_3$

• $L_?\cap\pi_3$
  • Punto
  • $L_?$
  • $\emptyset$ (vacío, no hay intersección)
• $\pi_?\cap\pi_3$
  • $L_?$
  • $\pi_?$
  • $\emptyset$
• $\emptyset\cap\pi_3=\emptyset$

L_2:X=\begin{cases} x+y+z=1\ x-y+z=7 \end{cases}\ (x;y;z)=(\lambda+2;-2\lambda+1;0)\ \text{Entonces:}\begin{cases} x=\lambda+2\ y=-2\lambda+1\ z=0 \end{cases}\ \text{Paso a la otra recta}\ \text{Primera ecuación: }x+y+z=1\ \text{Reemplazo: }\lambda+2+(-2\lambda+1)+0=1\ \lambda+2-2\lambda+1=1\ -\lambda+3=1\ 2=\lambda\ \text{Segunda ecuación: }x-y+z=7\ \text{Reemplazo: }\lambda+2-(-2\lambda+1)+0=7\ \lambda+2+2\lambda-1=7\ 3\lambda+1=7\ \lambda=2\ \text{Teniendo }\lambda\text{, puedo reemplazar en la otra ecuación para encontrar el punto}\ L_1=2(1;-2;0)+(2;1;0)\ (x;y;z)=(4;-3;0) \end{matrix}$$

En este ejercicio, en el caso de que $\lambda$ nos hubiese dado dos valores distintos en vez de $\lambda=2$ en las dos ecuaciones, sabemos que no hay intersección. Esto se podría conseguir si la segunda recta tuviese las siguientes ecuaciones:

$$\begin{cases} x+y+z=1\\ x-y+z=1 \end{cases}$$

Se puede pasar a forma paramétrica para comparar los vectores directores y ver de esta forma si se cruzan o no las rectas:

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