Producto vectorial

Notas

Se utilizan versores $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ para indicar "cuánto" en cada eje se mueven los vectores, donde cada uno significa exe $x$ , eje $y$ y eje $z$ respectivamente. Gracias a esto, sabemos que un vector $\vec{w}=3\hat{j}-\hat{k}$ es lo mismo que decir $\vec{w}=(0,3,-1)$ .
El producto interno (o producto escalar) ( $\cdot$ ) no es lo mismo que la multiplicación ( $\times$ ). El producto interno devuelve un número, mientras que la multiplicación de vectores nos devuelve un vector perpendicular a ambos vectores originales en $\mathbb{R}^3$ . Además, si se multiplica un vector por un número real (multiplicación por un escalar) ( $x\vec{v}$ ) esto nos devuelve otro vector $\vec{w}$ con la misma dirección que el original, pero con la distancia multiplicada por el número ( $x$ ).

El producto vectorial multiplica dos vectores en $\mathbb{R}^3$ y da como resultado geométrico un nuevo vector perpendicular a los dos originales. La fórmula cruzada se define de la siguiente manera:

\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\text{ y }\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\\ \vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2&a_3b_1-a_1b_3&a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix} \end{matrix}$$ Otra fórmula que utiliza matrices y determinantes es consiguiendo el determinante de una matriz especial:

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\ a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}$$ … donde $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ son los versores representantes de la dirección de los ejes x, y, z, respectivamente.

El resultado será un número multiplicando a $i$ (eje x), un número multiplicando a $j$ (eje y) y un último número multiplicando a $k$ (eje z).