Intersecciones

Entre Recta $L$ y Plano $\pi$

• Sistema indeterminado: Si son paralelos
• Sistema compatible determinado: Si se cortan en un punto
• SIstema incompatible: Si la recta $L$ está contenida en el plano $\pi$

Entre Recta $L_1$ y Recta $L_2$

• Si no se cruzan es sistema incompatible.
• Si se cruzan en un punto es sistema compatible determinado.
• Si son equivalentes (se cruzan en todos los puntos) es sistema compatible indeterminado.

Entre Plano $\pi_1$ y Plano $\pi_2$

• Si son paralelos es sistema incompatible
• Si se cruzan, es sistema compatible indeterminado

\begin{cases} (x,y,z)=\lambda(2;-1;-2)+(3;0;-1)\ 2x-y+z=-1 \end{cases}\rightarrow\text{(reescribo)}\rightarrow\begin{cases} x=2\lambda+3\ y=-\lambda\ z=-2\lambda-1\ 2x-y+z=-1 \end{cases}\ \text{Resuelvo por sustitución:}\ 2(2\lambda+3)-(-\lambda)+(-2\lambda-1)=-1\ 4\lambda+6+\lambda-2\lambda-1=-1\ 3\lambda-6\ \lambda=-2\ \text{Con este dato, puedo reemplazar }\lambda\text{ para averiguar los valores de x, y, z:}\ \begin{matrix} x=2\cdot-(2)+3&=-1\ y&=2\ z=4-1&=3 \end{matrix}\ \text{Finalmente, tenemos la respuesta:}\ L\cap\pi:P=(-1;2;3)\ \text{Si queremos, podemos ver si el corte además es perpendicular:}\ ¿L\perp\pi?\rightarrow\vec{v_\pi}:(2;-1;1)=\lambda(2;-1;2)\ \text{En este caso nos da absurdo, por lo que el corte no es perpendicular.} \end{matrix}$$

\begin{cases} 3x+y-z=-1\ (x,y,z)=\lambda(-1;1;0)+\beta(3;2;1)+(0;0;1) \end{cases}\rightarrow\text{reescribo}\rightarrow \begin{cases} 3x+y-z=-1\ x=\lambda\cdot(-1)+\beta\cdot3\ y=\lambda+2\beta\ z=\beta+1 \end{cases}\ \text{Despejo }\beta\text{ en la última ecuación y voy a la ecuación de arriba:}\ \beta=z-1\ y=\lambda+2(z-1)=\lambda+2z-2\\rightarrow\lambda=y-2z+2\ \text{Ya tengo los valores de }\beta\text{ y }\lambda\text{. Ahora puedo seguir subiendo en las ecuaciones:}\ x=-(y-2z+2)+3(z-1)\\rightarrow x=-y+5z-5\ \text{Por último, puedo ir a la primer ecuación para terminar de relacionarlas:}\ 3(-y+5z-5)+y-z=-1\ \rightarrow-3y+15z-15+y-z=-1\ \rightarrow-2y+14z=14\ \rightarrow14z-14=2y\\rightarrow7z-7=y\ \text{Logré despejar }y\text{, por lo que puedo volver a la otra}\\text{ ecuación que conseguí }(x=-y+5z-5)\ x=-(7z-7)+5z-5\ \rightarrow x=-2z+2\ \text{Habiendo logrado que todo esté en dependencia de }\ z\text{, puedo escribir la solución al sistema:}\ \vec{X}:(x;y;z)=(-2z+2;7z-7;z)\ \text{Separo:}\ \vec{X}:(x;y;z)=z(-2;7;1)+(2;-7;0)\\rightarrow z\text{ puede tomar la forma de }\lambda\text{ a partir de ahora}\ \text{Para saber si lo hicimos bien:}\ \text{Sabemos que en el caso de una intersección de 2 planos, se genera una línea.}\\text{Esta línea debe ser perpendicular a las normales de ambos planos, por propiedad geométrica:}\ \text{Primero, debo conseguir la normal del segundo plano, ya que no la tengo:}\ \begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\ -1&1&0\ 3&2&1 \end{vmatrix}=+\hat{i}\cdot(1\cdot1-2\cdot0)-\hat{j}\cdot(-1\cdot1-3\cdot0)+\hat{k}\cdot(-1\cdot2-3\cdot1)\\rightarrow=(1;1;-5)\ \text{Luego, puedo hacer el producto interno con el vector de la línea resultante y ambas normales:}\ \vec{v}_1:(3;1;-1)\cdot L:(-2;7;1)=-6+7-1=0\ \vec{v}_2:(1;1;-5)\cdot L:(-2;7;1)=-2+7-5=0\ \text{Dado que ambas multiplicaciones dan }0\text{, podemos concluir que el vector de la línea resultante}\\text{es perpendicular a ambos vectores directores, por lo que las cuentas son correctas.} \end{matrix}$$