Matrices

Las matrices se describen como:

$$a_{ij}$$

donde $i$ es la fija y $j$ es la columna.

Matrices cuadradas

Una matriz es cuadrada cuando $i=j$

Operaciones

Producto por un escalar

Dada una matriz como:

$$A= \begin{pmatrix} 1&-2&3\\ 0&4&1 \end{pmatrix}$$

El producto por 3 se define de la siguiente manera:

$$3\cdot A= \begin{pmatrix} 3\cdot 1&3\cdot (-2)&3\cdot 3\\ 3\cdot 0&3\cdot 4&3\cdot 1 \end{pmatrix}$$

Suma y resta

La suma y resta son posibles únicamente cuando $A$ y $B$ tienen las mismas dimensiones. Se define de la siguiente manera:

$$A= \begin{pmatrix} 1&-2&3\\ 0&4&1 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 2&4&-1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}$$ $$A+B= \begin{pmatrix} A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&A_{13}+B_{13}\\ A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&A_{23}+B_{23}\\ A_{31}+B_{31}&A_{32}+B_{32}&A_{33}+B_{33} \end{pmatrix}$$

Matriz nula

Siendo $A\in \mathbb{R}^{2x2}$, se define la matriz nula como:

$$A+(-A)=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}$$

Producto entre matrices

El producto entre matrices es posible únicamente en el siguiente caso.

Se multiplica toda la primer fila de $A$, por toda la primer columna de $B$. El resultado va en $C_{11}$. Luego, se multiplica a toda la primer fila de $A$, por toda la segunda columna de $B$. El resultado va en $C_{12}$.

$$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{pmatrix},\quad C=A+B$$ $$C = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} + A_{13}B_{31} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} + A_{13}B_{32} & A_{11}B_{13} + A_{12}B_{23} + A_{13}B_{33} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} + A_{23}B_{31} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} + A_{23}B_{32} & A_{21}B_{13} + A_{22}B_{23} + A_{23}B_{33} \end{pmatrix}$$

Matriz identidad

Siendo $A\in \mathbb{R}^{2x2}$, se define la matriz identidad como:

$$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$$

Matrices espejo

Aquella matriz $A$ donde las diagonales principales funcionan como espejo, y los otros valores están espejados.

$$A_{ij} = A_{ji};(i\neq j)$$