Ecuación lineal

$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=b$$

• Pueden tener varias, distintas variables. Pero todas de grado 1, y en distintos términos. Las variables no se pueden multiplicar entre sí.

Soluciones

Sistema de Ecuaciones Lineales

Dado un sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+...+a_{1n}x_{n}=b_1\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+...+a_{2n}x_{n}=b_2\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+...+a_{3n}x_{n}=b_3\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+...+a_{mn}x_{n}=b_n \end{cases}$$

Todas las variables y sus factores ($x$ y $a$ respectivamente) están de un lado del igual ($=$). Del otro lado, sólo hay numeros ($b$).

Clasificaciones

Homogéneo

Si todos los resultados de las ecuaciones (variable $b$ en el ejemplo de arriba) son 0, se llama homogéneo.

Sistema Compatible Determinado (SCD)

Aquel sistema con una única solución.

Sistema Compatible Indeterminado (SCI)

Aquellos sistemas con infinitas soluciones.

Sistema Incompatible (SI)

Aquellos sistemas sin soluciones (generalmente absurdo).

Notas

• Si hay más incógnitas que ecuaciones el sistema no puede ser S.C.D.
• Si el sistema es homogéneo no puede ser S.I.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas se llaman "equivalentes" si tienen el mismo conjunto solución. Se podría decir que "dicen lo mismo pero su apariencia es diferente".

Hay muchas operaciones que permiten mantener el mismo conjunto de soluciones sobre un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:

Más ejemplos:

Método de Gauss

Dado un sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y+7z=11 \end{cases}$$

Ejemplo con SCI

Ejemplo 3 (Absurdo!)