Geometría Vectorial

Dirección vs Sentido

La dirección se puede pensar como la recta sobre la que el vector existe, mientras que el sentido es "hacia dónde".

Longitud (o módulo)

Se defina la longitud de un módulo de la misma forma que en los números complejos:

$$\text{longitud}(\vec{v})=|\vec{v}|=\sqrt{{\vec{v}_1}^2+{\vec{v}_2}^2}$$

Vectores equivalentes

Dos vectores $\vec{AB}$ y $\vec{CD}$ se dicen equivalentes $(\vec{AB} = \vec{CD})$ si

$$B-A=D-C$$

donde la resta de puntos es coordenada a coordenada.

Suma de vectores

La suma de dos vectores $\vec{w} + \vec{v}$ se describe como:

$$\vec{w}_1+\vec{v}_1,\vec{w}_2+\vec{v}_2$$

y geométricamente es como si nos trasladaramos $\vec{w}$ y luego nos trasladaramos $\vec{v}$ (o viceversa).

Resta de vectores

La resta de dos vectores $\vec{w}-\vec{v}$ se describe como:

$$\vec{w}_1-\vec{v}_1,\vec{w}_2-\vec{v}_2$$

y geométricamente el vector resultante es aquel que nos uniría las puntas de los dos vectores originales (no en la posición correcta, pero el resultado sería equivalente)

Producto de vector por escalar

El resultado de un vector por un escalar es un vector en la misma "recta", con la longitud multiplicada por el escalar. <gráfico>

Versor

Un versor $\hat{a}$ se describe como un vector con longitud 1 ($|\vec{a}| = 1$). Utilizando de ejemplo un vector $\vec{v}=(1;2)$, con longitud $|\vec{v}|=\sqrt{5}$ su versor se calcula de la siguiente manera:

$$\begin{matrix} \hat{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\vec{v}\\ \hat{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot(1;2)=(\frac{1}{\sqrt{5}};\frac{2}{\sqrt{5}}) \end{matrix}$$

Y su longitud:

|\hat{v}|=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^2+(\frac{2}{\sqrt{5}})^2}\\ |\hat{v}|=1 \end{matrix}$$ ### Producto interno (o producto escalar) > Este tipo de producto da como resultado un número real. Dados 2 vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ se define de la siguiente manera:

\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}_1\cdot\vec{w}_1+\vec{v}_2\cdot\vec{w}_2

### Ángulo entre vectores El ángulo que crean 2 vectores se define de la siguiente manera:

\vec{v}\cdot\vec{w}=|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|\cdot\text{cos}(\alpha)

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\text{cos}^{-1}(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|})=\alpha

##### Ejemplos especiales - Si $\alpha=\pi/2$: $\text{cos}(\pi/2)=0$, por lo que $\vec{v}\cdot\vec{w}=0$. En este caso se dice que son perpendiculares ($\vec{v}\perp\vec{w}$). ### Paralelismo entre vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son paralelos si $\vec{v}=\lambda\cdot\vec{w}$. ### Distancias - La distancia entre puntos $(A;B)$ se define como la distancia del vector generado $|\vec{AB}|$. - La distancia entre vectores $\vec{v}, \vec{w}$ se define como la distancia de su vector resta, o la distancia entre sus puntas $|\vec{v}-\vec{w}|$.